La géométrie fractale à la portée des 8-15 ans. Entretien avec Mélanie Guenais

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Suite et fin de nos échos à l’inauguration de la Maison d'Initiation et de Sensibilisation aux Sciences (MISS), intervenue le 12 juillet dernier, à travers le témoignage de cette enseignante-chercheuse du département de mathématiques d’Orsay, qui a conçu un atelier visant à montrer que les mathématiques sont bien une science, sachant de surcroît dialoguer avec d’autres, y compris les plus éloignées, en apparence.

- Si vous deviez pour commencer par présenter votre atelier qui a pour thème « mathématiques et botanique ». Une association n’allant pas de soi, pour le béotien que je suis…

Justement, j’ai conçu cet atelier dans le but de bousculer des idées reçues concernant les mathématiques, à commencer par celles suivant laquelle, ce ne serait pas une science comme les autres…

- C’est pourtant évident, y compris pour moi…

Mais pas pour tout le monde, y compris pour certains enseignants ou même chercheurs en mathématiques ou en sciences, qui considèrent que les mathématiques ne s’inscrivent pas dans une démarche expérimentale, ce à quoi on reconnaît qu’une science est une science. J’ai donc proposé de faire découvrir aux enfants les mathématiques à travers une démarche de ce type. Je reprends ainsi une idée ancienne de laboratoire expérimental de mathématiques*, chère à Jean-Pierre Kahane, mathématicien orcéen de renom et ancien président de l’Université Paris-Sud. Concrètement, l’atelier traite de géométrie à partir de l’observation de phénomènes ou d’objets naturels. Relativement récente et qualifiée de « fractale », cette géométrie doit son essor et son nom au mathématicien Benoît Mandelbrot qui l’a popularisée en 1974. Elle a ensuite connu un développement considérable avec les progrès des outils informatiques et intéressé de nombreux mathématiciens renommés comme, par exemple, Jean-Christophe Yoccoz (lauréat de la médaille Field 94), également professeur à Orsay. Elle est actuellement très utilisée pour ses applications dans des domaines variés, aussi bien en mathématiques que dans d’autres disciplines (pour reproduire des modèles financiers, modéliser des nappes pétrolifères, représenter des paysages naturels dans les films d’animation, etc.).

- Si vous deviez en rappeler le principe ?

Elle s’intéresse à la modélisation la plus fidèle possible de certaines formes naturelles complexes. Pour y initier les élèves, nous proposons deux parcours. L’un qui procède à partir de l’observation d’un chou romanesco et de sa structure. Concrètement, on commence par séparer les branches pour constater qu’il est constitué de petites copies de lui-même, qui se répètent à plusieurs échelles. Soit une première caractéristique de la forme fractale.
Une autre caractéristique de cette dernière réside dans l’impossibilité de réaliser certaines mesures au moyen de nos méthodes de mesure conventionnelles. D’autres types de mesures doivent être imaginés et utilisés. C’est ce qu’on illustre lors du second parcours, à travers des mesures de la longueur de de la Côte de granit, sur le littoral de Bretagne. Ces mesures à différentes échelles n’aboutissent pas aux mêmes résultats, et elles augmentent significativement chaque fois que l’échelle diminue. Il s’agit d’un phénomène appelé l’effet Richardson, du nom d’un mathématicien et météorologiste britannique [1861-1953], qui a été le premier, en 1926, à observer ces différences dans les données collectées dans les archives relatives aux côtes anglaises, et à en proposer une explication. Cette conjecture sera démontrée dans les années 70 par Benoit Mandelbrot lui-même, en recourant à la géométrie fractale.

- A quels enfants vous adressez-vous ?

Ils ont entre 8 et 15 ans, soit des élèves en CE2 pour les plus jeunes, en 3e pour les plus âgés.

- Votre atelier est ambitieux. Comment réagissent-ils à cette géométrie fractale et à ses caractéristiques que vous voulez leur faire découvrir ?

Oui, c’est effectivement un atelier ambitieux, qui débute par une démarche expérimentale puis une autre d’observation de terrain : nous les emmenons dans les serres ou dans le parc botanique du campus d’Orsay, pour découvrir d’autres formes végétales avec des structures ramifiées (que nous appelons fractales en mathématiques). Là, des spécialistes leur font observer les structures des différentes parties des plantes et leur expliquent les origines possibles de ces structures (liées notamment à la manière dont les plantes optimisent l’occupation de l’espace pour emmagasiner l’énergie dont elles ont besoin). Enfin, on aborde les enjeux de la modélisation, toujours dans cette idée de suivre le cheminement de la démarche scientifique. Cette partie aboutit à une œuvre collective d’art plastique non sans montrer au passage comment l’art se mêle aussi aux sciences…
La première réaction des élèves, c’est la surprise ! En l’occurrence de découvrir ces formes qui se répètent à différentes échelles et ces mesures dont les résultats varient sensiblement selon l’échelle que l’on choisit. Nous n’en restons pas cependant à cet effet de surprise. Nous discutons pour essayer de comprendre les phénomènes en jeu, comment on pourrait s’y prendre pour trouver des solutions aux problèmes de mesure ou pour construire des modèles simplement.

- Qu’est-ce qui vous a motivée à participer à la MISS ?

Je suis de longue date investie dans la vulgarisation scientifique. Les enfants constituent une cible de choix, car ils sont un public a priori captif, pas encore formaté avec des préjugés à l’égard des sciences en général et des mathématiques en particulier. Ensuite, la MISS est l’occasion de faire des liens entre différents domaines disciplinaires, ce qui ne peut qu’être enrichissant pour la chercheuse que je suis. En particulier, les nombreux échanges que nous avons dû avoir avec les botanistes pour monter l’atelier nous ont enrichis mutuellement. C’était une occasion inespérée pour nous permettre de croiser nos regards et de comprendre nos motivations respectives. Naturellement, nous échangeons d’un atelier à l’autre comme, par exemple, avec celui consacré à l’archéologie, qui se déroule juste à côté. Sa médiatrice m’a appris que retrouver des formes géométriques à partir d’échantillons est une des questions qui motivent les archéologues. Elle m’a montré les outils qu’ils utilisent pour mesurer des objets en volume. C’est aussi l’occasion de découvrir des problématiques communes à la botanique en matière d’échantillonnage et de recueil de données. Ce sont aussi ces échanges informels qui me permettent d’enrichir mon propre atelier [pour en savoir plus, voir l’entretien avec Camille Baida – pur y accéder, cliquer ici].

- Sans compter la possibilité de butiner à l’extérieur…

En effet, comme je l’indiquais, mon atelier, comme les autres d’ailleurs, ne se limite pas aux murs de la MISS, mais tire profit de l’environnement du campus d’Orsay. Un environnement riche, parce que pluridisciplinaire, permettant d’interagir avec d’autres collègues chercheurs.

* Voir le rapport de la commission Kahane, « Réflexions sur l’enseignement des mathématiques » commandé en 2000 par Jack Lang alors ministre de l’Education Nationale.

A lire aussi les entretiens avec Camille Baida, médiatrice de l’association ArkéoMédia (pour y accéder, cliquer ici) ; Coralie Caron, qui poursuit une thèse en biochimie à l’Institut Curie, de la Faculté des sciences d’Orsay (cliquer ici) ; Ludmilla Guduff, doctorante en chimie analytique, à l’Institut de chimie des substances naturelles, le pôle chimie du campus CNRS de Gif-sur-Yvette (cliquer ici) et Raphaëlle Momal, doctorante en mathématiques appliquées, d’AgroParisTech/Inra (cliquer ici).

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4 commentaires à cet article
  1. Ping : Une MISS univers des sciences | Paris-Saclay

  2. Ping : Entre 8 et 15 ans, et déjà dans la peau d’un archéologue. Rencontre avec Camille Baida | Paris-Saclay

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